Figlio del pittore Vincenzo, segue la famiglia prima a Firenze nel 1842 e poi a Venezia dal 1846 al 1858, dove forma la propria cultura artistica sia sotto la guida del padre che frequentando dal 1850 l'Accademia di Belle Arti con i maestri Grigoletti e Bagnara; qui conosce i pittori Vito D'Ancona e Telemaco Signorini.

Nel 1858 la famiglia Abbati è nuovamente a Napoli, dove l'anno dopo Giuseppe espone alla mostra del Reale Museo Borbonico il dipinto La Cappella di San Tommaso d'Aquino in San Domenico Maggiore e conosce i pittori Bernardo Celentano e Domenico Morelli. Nel 1860 si unisce alla Spedizione dei Mille e perde un occhio nella battaglia del Volturno. Alla fine di quell'anno si trasferisce a Firenze, frequentando il ritrovo artistico del Caffè Michelangiolo insieme con i pittori Telemaco Signorini, Vincenzo Cabianca, Odoardo Borrani, Domenico Caligo, Vito D'Ancona, Serafino De Tivoli e il critico, collezionista e mecenate Diego Martelli; del 1861 è il dipinto Il chiostro di Santa Croce.

Nel 1863 alle Promotrici di Torino e di Firenze espone dipinti eseguiti "en plain air": Dintorni di Firenze, L'ora del riposo, Arno presso Firenze, Motivo presso Castiglioncello, Ulivi del Monte alle Croci; nel 1864, a Brera, presenta Il lattaio di Piagentina. Partecipa nel 1866 alla III Guerra di Indipendenza, arruolandosi volontario bersagliere; viene fatto prigioniero nella battaglia di Custoza e internato in Croazia. Rientrato a Firenze nel dicembre del 1866, si trasferisce nella tenuta di Diego Martelli a Castelnuovo della Misericordia. Il 13 dicembre 1867 viene morsicato dal proprio cane Cennino. Morirà 39 giorni dopo per idrofobia all'Ospedale di Firenze a soli 32 anni. Viene sepolto nel Cimitero delle Porte Sante.